In Brisbane erzielte er im Viertelfinale der Junioren-WM den 2:1 Siegtreffer für die gastgebenden Australier gegen Uruguay. Das war dann auch schon der letzte Sieg für die Australier bei der Heim-WM denn sie verloren sowohl das anschließende Halbfinale gegen Brasilien (0:2) als auch das Spiel um Platz 3 gegen England (1:2).
Erfolgreicher lief es 3 Jahre später für das deutsche Team als Oliver Bierhoff mit dem ersten Golden Goal der Herren (also nicht Junioren) das Finale der Europameisterschaft 1996 entschied.
2 Jahre später begannen dann seine Verletzungssorgen. Zwar gewann er 2013 mit den Bayern das Triple aus Meisterschaft, DFB-Pokal und Champions League, allerdings konnte er verletzungsbedingt nur selten spielen und verpasste dadurch auch die WM 2014. Nach einer Leihe zum FC Schalke 04 spielte er noch 3 Jahre für den VfB Stuttgart ehe er 2021 in Luzern seine Karriere beendete.
Auch internationale Titel gewann er mit Ajax bereits in jungen Jahren. Nach dem Gewinn des UEFA-Pokals 1992 (2:2 und 0:0 im Finale gegen Turin Calcio) folgte 1995 der Triumph in der Champions League als man u.a. nach torlosem Hinspiel im Halbfinal-Rückspiel den FC Bayern München mit 5:2 vom Platz fegte. Im Finale in Wien setzte sich Ajax dann mit 1:0 gegen den AC Mailand durch. Im gleichen Jahr gewannen sie auch den UEFA Super-Cup sowie den Weltpokal. 1996 standen sie erneut im Finale der Champions League, verloren dort aber gegen Juventus Turin im Elfmeterschießen (2:4).
1996 wechselte er nach Italien. Zunächst für 1 Jahr zum AC Mailand, gefolgt von Juventus Turin. Auch mit Juve wurde er 3 Mal Landesmeister (1998, 2002 und 2003) und stand im Finale der Champions League, aber erneut verlor er im Elfmeterschießen (2:3 gegen den AC Mailand). Später war er auch noch unter anderem für Inter Mailand, Tottenham Hotspur und erneut Ajax Amsterdam aktiv.
Escobar unterlief beim Spiel gegen die USA ein unglückliches Eigentor zur 1:0-Führung der Amerikaner. Wenige Tage nach der Rückkehr nach Kolumbien wurde Escobar erschossen. Der Täter war Fahrer und Bodyguard mächtiger Drogenbosse. Ob er als enttäuschter Fan oder im Auftrag der kolumbianischen Wettmafia, die durch das frühe Ausscheiden viel Geld verloren hatte, handelte, konnte nie geklärt werden.
Zuvor gewann er mit Atletico Nacional die Copa Libertadores 1989 gegen Club Olimpia im Elfmeterschießen mit 5:4 (nach 2:0 und 0:2 in Hin- und Rückspiel) und wurde 1991 Kolumbianischer Meister.
Er verstarb am 2. Juli 1994 in Medellin mit nur 27 Jahren. Zu seiner Beerdigung kamen 120.000 Trauernde.
Den größten Erfolg feierte er aber mit der italienischen Nationalmannschaft. Bei der WM 1982 war er Stammspieler bei den Siegen u.a. gegen Argentinien (2:1) und Brasilien (3:2) und natürlich auch im Finale gegen Deutschland welches er mit Italien mit 3:1 gewinnen konnte.