Seine Karriere begann er als Eishockey-Torwart und wurde dort schwedischer Schülermeister. Gleichzeitig stand er auch beim Fußballverein Hammarby IF im Tor und debüttierte dort in der Profi-Mannschaft 1966. Bereits 2 Jahre später lief er dann auch erstmals für die schwedische Nationalmannschaft auf. Bei der WM 1970 schied er mit dem schwedischen Team als Gruppendritter punktgleich hinter Uruguay bereits in der Vorrunde aus.
1971 wurde er erstmals zum Fußballer des Jahres in Schweden gewählt. Bei der nächsten WM 1974 überstanden die Schweden als ungeschlagener Gruppenzweiter die Vorrunde, verpassten dann aber als Gruppendritter (u.a. durch eine 2:4-Niederlage gegen den späteren Weltmeister Deutschland) die Spiele um die Medaillenränge.
Bereits vor der WM unterschrieb Hellström beim 1.FC Kaiserslautern und wurde dort ab dem Sommer 1974 direkt zum Stammtorhüter. Mit den roten Teufeln stand er 2 Mal im DFB-Pokalfinale, verlor aber sowohl 1976 (0:2 gegen den Hamburger SV) als auch 1981 (1:3 gegen Eintracht Frankfurt). Größter internationaler Erfolg war das Erreichen des Halbfinals im UEFA-Pokal 1981/82. Highlight hierbei war das Viertelfinal-Rückspiel gegen Real Madrid. Nach dem 1:3 in Spanien gelang am Betzenberg im Rückspiel ein 5:0-Erfolg über die Spanier, u.a. durch einen gehaltenen Elfmeter von Hellström. Im Halbfinale scheiterte man dann allerdings am späteren Pokalsieger IFK Göteborg durch ein 1:2 nach Verlängerung (1:1 im Hinspiel).
Nach seinem Karriereende 1988 arbeitete er noch als Torwarttrainer und wurde 2011 in die schwedische Hall of Fame aufgenommen. Er verstarb am 6. Februar 2022 in Malmö.